Месяц лучше, чем неделя, это точно. За неделю ребёнок успевает только привыкнуть, а за месяц начинает работать то, ради чего едут: много прогулок, влажный воздух, меньше садиковых вирусов вокруг.
Но февраль в Анапе не лето: +5…+12, ветер, дожди. Эффект будет, если гулять каждый день по несколько часов, а не сидеть в квартире. Квартира должна быть сухая и тёплая, без плесени, иначе получите обратное. Маме одной с двумя целый месяц будет непросто, это тоже учтите.
И не ждите, что после этого они перестанут болеть совсем, просто чаще будет проходить легче. Я со своим сыном так ездила весной на три недели, потом полгода было тихо.

Я детский врач, поэтому про взрослых только в общем. Грязи назначает врач санатория после осмотра. С давлением и сердцем часто дают местные аппликации на колени, а не общие, и температуру ниже. Возьмите выписки и санаторно-курортную карту, там должно быть всё про давление. Если врач в санатории сомневается, он просто не назначит.